Monday, July 04, 2005

Fundamentos teóricos



1.Define Polinomio en R


Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn , donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo.

Ejemplos:

1) 3x - 2

2) x4 + 5

3) 2n2 - 5n + 3

4) 5y3 + 4y2 - 3y + 1

5) 23

Citas bibliográficas:

1. POLINOMIOS (Autor: Anónimo) http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm

Dirección URL:

2.Aplicaciones :

12.- APLICACIONES MATEMÁTICAS Y FÍSICAS DE LOS POLINOMIOS DE LEGENDRE

Los Polinomios de Legendre tienen una variada gama de aplicaciones. Se dan de

ejemplo las siguientes:

12.1.- APLICACIONES MATEMÁTICAS

12.1.2.- ESTUDIO DE LAS RAÍCES DE z – a – w f(z) = 0

12.2.2.- APLICACIONES A LA ELECTROSTÁTICA

12.2.2.1.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELÈCTRICO GENERADO POR UNA CARGA

PUNTUAL

12.2.2.2.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELÈCTRICO GENERADO POR UNA CARGA

PUNTUAL EN EL INTERIOR DE UNA ESFERA PUESTA A TIERRA

12.2.2.3.- POTENCIAL DE UN CAMPO ELECTRICO GENERADO POR UN ANILLO CIRCULAR

12.2.3.- ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS

http://www.fi.uba.ar/materias/6118/Material/Leg00.pdf

3.Investiga sobre:

3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto
Grado Relativo:
"Se llama grado de un monomio al mayor exponente de una letra determinada. Por ejm:
4a3b2 -----------------------> GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
x5y3z --->En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1 x5y3y1

GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)" (1)
Grado Absoluto:
" Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras.

Ejemplo:

1) 3ax -----> de grado 2.

2) -2xy2 -----> de grado 3 .

3) 8ab3x -----> de grado 5 (como es sabido cuando el exponente es 1 no se escribe)". (2)

Citas bibliograficas:


1) Grados Relativo y Absoluto ( Autor: Anónimo ) http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#grados


2) Expresiones algebraicas ( Leoncio Santos Cuervo - © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001 ) http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios.htm

Direcciones URL:

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios.htm

http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_961546362/Monomio.html

3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.

Grado Relativo:

Es el mayor exponente que presenta una misma variable en un polinomio.

" Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

4a3b2 +5a5bEn este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.
4a3b2 +5a5b1Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"
4a3b2 +5a5b1Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)
GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
4a3b2 +5a5b1Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).
GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del segundo". (1)

Grado Absoluto:

"Trabajemos el ejemplo: 4a3b2 +5a5b

4a3b2 +5a5bEste ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.
4a3b2 +5a5b1Completo los exponentes que "no se ven" con 1.
4a3b2 +5a5b1Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.
4a3b2 +5a5b1Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.
4a3b2 +5a5b1

Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6) " (1)

c) Grado de las operaciones algebraicas:

" * Grado de un producto: Es la suma de los grados de los factores.

* Grado de un cociente: Es el resultado de restar el grado del dividendo menos el grado del divisor.

* Grado de una potencia: El es producto de multiplicar el grado de la base por el exponente.

* Grado de una Raíz: Es el resultado de dividir el grado del radicando entre el índice del radical" . (2)


Citas bibliograficas:

1) Introducción al álgebra ( Autor: Anónimo ) http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#grados

2) Manuel Coveñas Naquiche. Matemática 3º Año de Educación Secundaria.

Direcciones URL:

http://eco-mat.ccee.uma.es/Libro/Polinomios/Maple/PolinomiosMaple.HTM

http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#grado

http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

3.3. Polinomios especiales
Nosotros podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Por ejemplo, si nos dan el polinomio: 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5, y nos dicen que evaluemos si este es completo, nosotros debemos observar los exponentes.

Para facilitarnos las cosas hemos completado los exponentes: 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

Como podemos observar, al termino en el cual la letra x no tenia exponente le hemos colocado el 1 que correspondía.
Cuando encontremos un número solo (como en el ejemplo encontramos el número 5), a este se le llama término independiente y se asume que lleva la misma letra que los demás términos elevado a exponente 0.

Observemos los exponentes, encontramos que el más alto es 5 (en el término +3x5), y estarán también el 4, el 3, el 2, el 1 y el 0. Es decir, entre el 5 y el 0 estarán todos los números consecutivos, entonces nosotros afirmamos que se trata de un polinomio completo. Ejemplo:

3x2 +5x4 -3x +2 -x3

Polinomios Ordenados:

En el ejemplo anterior hemos visto los exponentes del polinomio están todos los números consecutivos entre el 0 y el 5, pero están en completo desorden.
El polinomio era (luego de completarlo): 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x
0
Empezaba con exponente 3, luego bajaba a exponente 1, subía a exponente 5, bajaba a exponente 2, subía a exponente 4 y finalmente bajaba a exponente 0.

Veamos ahora el siguiente polinomio: 5a2 +3a3 -a5 +a8

Evidentemente no es un polinomio completo, pero veamos como van sus exponentes. Empieza con exponente 2, luego sube a exponente 3, sube a exponente 5 y finalmente sube a exponente 8. Es decir, los exponentes van subiendo; si esto sucede nosotros decimos que se trata de un polinomio ordenado ascendente.

Lógicamente también puede haber un polinomio ordenado en forma descendente:
5x6 +3x5 -2x2 +x, el cual, después de completarlo quedaría: 5x6 +3x5 -2x2 +x1
Nótese que los exponentes van bajando, será entonces un polinomio ordenado descendente.

Existe un tipo muy especial de polinomio que comparte las características de un polinomio completo y de un polinomio ordenado, a este se le conoce como polinomio completo y ordenado. Por ejemplo:
x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x -1, que es lo mismo que decir, x6 +3x5 -2x4 +3x3 -x2 +6x1 -1x0

En este último ejemplo observamos, primero que están todos los exponentes consecutivos del 0 al 6; pero además que estos exponentes están ordenados en forma ascendente ya que siempre van subiendo. Por lo tanto, nosotros decimos que estamos frente a un polinomio completo y ordenado. Ejemplo:

2a4 -3a2 +a

5 +3x +2x3 -x5

Polinomios Homogéneos

Recordemos que un polinomio esta formado por dos o más términos que se están sumando o restando. Así podemos decir que el siguiente: 3a2b + 5ab2 -3abc, es un polinomio de tres términos: el primero de ellos es 3a2b, el segundo es +5ab2 y el tercero es -3abc.

Ahora voy a sumar los exponentes de cada término:
Primer término: 3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3
Segundo término: +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3
Tercer término: -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3

Observamos que en todos los casos el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo (para nuestro ejemplo es 3), entonces nosotros podemos decir que se trata de un polinomio homogéneo.

Ahora, existe también un polinomio que reúne características de un polinomio completo, de un polinomio ordenado y de un polinomio homogéneo. A este se le llama polinomio completo, ordenado y homogéneo. Por ejemplo:
2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4

El polinomio anterior se puede escribir también de la siguiente manera:
2a4b0 -3a3b1 + a2b2 +5a1b3 -a0b4

Hemos completado los términos donde no había una de las letras con esta elevada a exponente 0, y hemos colocado el exponente 1 en donde no había exponente.

Veamos primero para la letra a: están todos los exponentes consecutivos del 4 al 0, y además están ordenados. Ahora para la letra b: también están todos los exponentes consecutivos del 0 al 4 y además están ordenados. Podemos afirmar que se trata de un polinomio completo y ordenado.

Evaluemos ahora la suma de los exponentes término por término: para el primer término será 4 +0 =4; para el segundo 3 +1 =4; para el tercero 2 +2 =4; para el cuarto 1 +3 =4; para el quinto y último 0 +4 =4. Vemos que todos los resultados son iguales, podemos afirmar que se trata de un polinomio homogéneo. Ejemplos:

3a4 +a2b2 - 5xy3

Finalmente el polinomio: 2a4 -3a3b + a2b2 +5ab3 -b4, es un polinomio completo, ordenado y homogéneo." (1)

" Polinomio Mónico:

Si su coeficiente principal es 1.

Nota:

Si dos polinomios son iguales, al restarlo obtenemos el polinomio nulo.

Dos polinomios son opuestos si al sumarnos obtenemos el polinomio nulo" (2)

"Polinomio cero o nulo

Si los coeficientes de P(x) cumplen con

el polinomio resultante es P(x) = 0 y se lo llama polinomio cero o nulo.

Polinomio constante

Si los coeficientes de P(x) cumplen con

el polinomio resultante es P(x) = a0 y se lo llama polinomio constante". (3)

Citas bibliográficas:

1) Introducción al álgebra http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplet

2) Expresiones Algebraicas ( Autor : Anónimo ) http://www.ingreso.ing.unlpam.edu.ar/U2Polinomios(teoria).pdf

3) Polinomio cero o nulo ( Autor: Anónimo ) Esta página se actualizó el 12 de Marzo de 2001). http://www.ejercitando.com.ar/teormate/polinomio2.htm#nulo


3.4. Operaciones con polinomios:

Adición
Sustracción
Multiplicación
Productos notables: casos, Identidades de Legendre .
Adición y Sutración de polinomios:

" La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrán sumar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma.

Ejemplo 1.- Para calcular la suma de los polinomios:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( 5x3 - x2 + 2x )

Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está.

Podemos indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+
--- - 5x3 --- x2
+2x
_____________________
4x
4 + 3x3 + 2x2 + -----5

Por tanto: Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos.

Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados.

Ejemplo 2.- Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores:

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )

Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5 " (1)

"Multiplicación De Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.

A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 5x + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:

P

(x) . Q(x) = (5x + 11) (x3 + 2x2 + 4) (aplicamos distributiva)

P

(x) . Q(x) = 5x4 + 10x3 + 20x + 11x3 + 22x2 + 44 (sumamos)

P

(x) . Q(x) = 5x4 + (10 + 11) x3 + 22x2 + 20x + 44

P

(x) . Q(x) = 5x4 + 21 x3 + 22x2 + 20x + 44

La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.

La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que

P

(x)·[Q(x) + R(x)] = P(x) · Q(x) + P(x) · R(x)

División de polinomios

: Dados dos polinomios P(x) (llamado dividendo) y Q(x) (llamado divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) ¹ 0 siempre hallaremos dos polinomios C(x) (llamado cociente) y R(x) (llamado resto) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q.

Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1:

El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.

La descripción del proceso es la siguiente:

El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x3: x2 = 5x

Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo.

Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.

El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.

Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x) y se cumple la relación:

P

(x) = Q(x) · C(x)

Teorema Del Resto:

El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a".

R

= P( - a ). Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x – 20 para x = 2 se obtiene:

P(2) = 3. 24 – 5. 22 + 3. 2 – 20 = 14

Factorización de un Polinomio:

Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el polinomio P(x) se anula para x = a.

Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por xa, pues el resto de dividir P(x) entre x - a es cero. A cada uno de esos valores se los suele designar x1 , x2, x3, etc

P

(x) = a0 xn + a1 xn – 1 + . . . + a n

P

(x) = a0 (xx1) (xx2) . . . (xxn) (Polinomio factoreado).

Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 12 y – 12.

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cual de estos valores da como resto cero.

P(x) = x4 – 6x3 + 9x2 + 4x – 12

P(1) = 14 – 6.13 + 9.12 + 4.1– 12 = – 4

Puesto que el resto, – 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con –1:

P(– 1) = (– 1)4 – 6.(– 1)3 + 9.(– 1)2 + 4.(– 1) – 12 = 0

–1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:

P(x) = (x + 1)(x3 – 7x2 + 16x – 12)

Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de P(x) = x3 – 7x2 + 16x – 12. Se prueba de nuevo con – 1:

P(– 1) = (– 1)3 – 7(– 1)2 + 16(– 1) – 12 = – 36

– 1 no es raíz de P1(x). Probando con 2:

P(2) = (2)3 – 7(2)2 + 16(2) – 12 = 0

2 es raíz de P1(x) y, por tanto, de P(x):

P

(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 – 5x + 6)

Apliquemos cuadrática

P(x) = (x + 1)(x – 2) (x – 2) (x – 3)

2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P(x):

P

(x) = (x + 1)(x – 2)2 (x – 3)

En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados de x". (2)

Productos notables e Identidades de Legendre:

  1. Binomio de Suma al Cuadrado

    ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  2. Binomio Diferencia al Cuadrado

    ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  3. Diferencia de Cuadrados

    ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  4. Binomio Suma al Cubo

    ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

    = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  5. Binomio Diferencia al Cubo

    ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  6. Suma de dos Cubos

    a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

  • Diferencia de Cubos

    a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

  • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

  • Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

  • Identidades de Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

  • Producto de dos binomios que tienen un término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

  • http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DEFIN

    Citas bibliograficas:

    1) POLINOMIOS (1) Autor: Leoncio Santos Cuervo - Descartes Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#suma

    2) Polinomios( Autora: Silvia Sokolovsky )http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm

    Direcciones URL:

    http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas_monomios-y-polinomios_ecuaciones.html

    http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/monomios.htm


    3.5. Ejercicios y problemas aplicativos

    " Aplicaciones y ejercicios finales

    Resolución de ecuaciones de grado superior

    Ejemplo 1.- En el apartado anterior hemos visto que el polinomio seguiente se factoriza:

    2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1)

    También hemos visto que el valor numérico de dicho polinomio para x = -1 y x = -2 es 0 por tanto si escribimos la ecuación:

    2x3 + x2 - 5x + 2 = 0, sabemos que dos soluciones de la misma son x = -1 y x = -2.

    Estos valores de x se llaman "raices del polinomio", que son por tanto soluciones de la ecuación P(x) = 0.

    Además de la ecuación: 2x3 + x2 - 5x + 2 = (x - 1) (x + 2) ( 2x - 1) = 0 se obtiene, además de las dos soluciones anteriores la solución 2x - 1 = 0 ; x = 1/2 = 0.5Ejercicio 13.- Factorizar los siguientes polinomios comprobando las cuatro afirmaciones anteriores, utilizando la escena anterior como ayuda:

    a) x3 + 2x2 - x - 2

    b) x4 - 1

    c) x4 + 10x3 + 35x2 - 50x + 24 (Una raíz es x = 4)

    Ejemplo 2.- Son polinomios las expresiones siguientes:

    a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

    b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5 " (1)

    " Definición y ejemplos de polinomios

    Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

    Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

    Ejemplo 8.- Son polinomios las expresiones siguientes:

    a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

    b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

    En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras, mientras que en el segundo caso el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un número se le llama término independiente (5 en el caso b y no existe en el caso a)

    Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: x2y + 3ab2y3 ; 2x + 3 son dos binomios

    Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio: el caso a) anterior o -2x3 + 3x2 + 5 son dos trinomios.

    Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.

    Respecto al grado de un polinomio, se dice que tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

    Así en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8.

    En el caso b) el grado es 4.

    Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman también coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5 respectivamente en el caso b).

    Lo más habitual que nos vamos a encontrar son polinomios del tipo del caso b), por tanto con una sola letra, que habitualmente será la x". En este caso a la letra se le suele llamar variable" (2).

    Ejercicios complementarios

    Efectuar las siguientes sumas de polinomios:

    Respuestas de los ejercicios complementarios

    " (2)

    Ejercicios:

    1) Escribir todos los polinomios de grado tres cuya única raíz sea 3. ¿La respuesta es única.?
    Respuesta: P(x) = a . (x – 3)3. No "a" puede tener muchos valores.
    2) Escribir un polinomio de grado tres donde 4 sea una raíz doble y – 1 una raíz simple, además que cumpla P(2) = 24
    Respuesta: P(x) = 2.(x – 4)2 (x + 1)
    3) Escribir el polinomio de grado tres sabiendo que P(-2) = P(1) = P(5) = 0 y que P(0) = 50
    Respuesta: P(x) = 5 (x + 4)(x – 1)(x + 5)
    4) Hallar una función polinómica de grado dos que corte al eje x en los puntos (3, 0 ) y (- 1, 0 ) y tal que f(0) = 6.
    Respuesta: P(x) = 2 (x – 3)(x + 1)
    5) Hallar la función polinómica de grado 3, cuyos ceros sean –1, 2 y 3, para que verifique que f(1) = 12
    Respuesta: P(x) = - 3 (x + 1)(x – 2)(x – 3)

    Citas bibliográficas: